Родился 20 июля 1974 года в Ростове-на-Дону.
В 1996 году окончил Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, юрист.
После окончания МГУ работал в коммерческих структурах. В 1996-1999 гг. - генеральный директор ООО "Фирма "ЮБС" (Москва). В конце 1990-х гг. начал заниматься продюсерским и звукозаписывающим бизнесом в Москве, возглавлял, в частности, ООО "Монолит-АВК".
В 2003 году окончил Аспирантуру Академии народного хозяйства при Правительстве РФ, кандидат экономических наук.
В 2003-2009 гг. - коммерческий директор ОАО "Роствертол". Одновременно с 2005 по 2007 г. руководил комитетом вертолетных программ ОАО "Объединенная промышленная корпорация "Оборонпром" (Москва).
Затем находился на государственной службе. В 2009-2010 гг. - помощник министра промышленности и торговли РФ Виктора Христенко.
С октября 2010 г. по май 2012 г. - директор департамента авиационной промышленности Минпромторга России.
С мая 2012 г. по январь 2015 г. занимал должность заместителя министра промышленности и торговли РФ Дениса Мантурова. В 2013 г. Юрию Слюсарю был присвоен классный чин "Действительный государственный советник Российской Федерации 3 класса".
С 2015 г. Юрий Слюсарь возглавляет ПАО "Объединенная авиастроительная корпорация" (Москва; с 2018 г. ОАК входит в состав госкорпорации "Ростех") - с 2015 по 2019 г. в должности президента (сменил Михаила Погосяна), с 2019 г. по н. в. - в должности генерального директора.
Параллельно в 2017-2019 гг. являлся президентом ПАО "Научно-производственная корпорация "Иркут" (с 2023 г. - ПАО "Яковлев", Москва), действующего в структуре ОАК.
В ноябре 2020 г., в рамках реализации программы централизации управления входящими в ОАК предприятиями, Юрий Слюсарь был назначен гендиректором ПАО "Компания "Сухой". Совмещал руководство ОАК и дочерней компанией "Сухой" до завершения процесса их объединения в одну организацию в 2022 г.
Является вице-президентом общероссийской общественной организации "Союз машиностроителей России" (Москва) и ассоциации "Лига содействия оборонным предприятиям" (Москва).
В 2017-2021 гг. входил в высший совет Всероссийской политической партии "Единая Россия".
Награжден орденом Почета (2019), медалью ордена "За заслуги перед Отечеством" II степени (2015). Отмечен Почетной грамотой президента РФ (2017).
Имеет почетное звание "Почетный авиастроитель" (2011).
С 4 ноября 2024 года — временно исполняющий обязанности главы Ростовской области.