Родился в г. Северодвинске Архангельской области в семье рабочих-машиностроителей.
В 1997 окончил Институт судостроения и морской арктической техники — филиал Санкт-Петербургского государственного морского технического университета (ныне филиал Северного арктического федерального университета) по специальности «промышленное и гражданское строительство верфи».
В 1995-1997 директор ООО «Арника» (г. Севердвинск). В 1997-1998 директор ЗАО НПФ «Арсенал» (г. Севердвинск). С 1998 по 2013 генеральный директор ООО НПО «Завод химических реагентов» (г. Архангельск). Занимался реализацией крупных девелоперских проектов. 2013 — 2017 генеральный директор ООО «Управляющая компания «Лидер групп». Основателем и владельцем холдинга «Лидер групп» был уроженец Северодвинска Александр Некрасов (депутат Госдумы в 2011-2020 гг., ныне сенатор). 2017-2020 — генеральный директор ООО «Управляющая компания «Атлант» Член КПРФ. 14 сентября 2014 г. участвовал в выборах депутатов Московской городской думы VI созыва от партии КПРФ по одномандатному округу №39. В Мосгордуму не прошел, заняв 3-е место (10,13%) после кандидатов от «Единой России» и «Гражданской платформы» Антона Палеева и Виктора Сиднева. 18 сентября 2016 Роман Лябихов баллотировался в Госдуму VII созыва от партии КПРФ (№7 региональной группы №20, (Ивановская, Костромская и Ярославская обл.). По итогам распределения мандатов место в Госдуме не получил. Одновременно участвовал в выборах депутатов Законодательного собрания Ленинградской области VI созыва от КПРФ. Возглавлял региональную группу №8. В заксобрание не прошел. В 2020-2021 — депутат Государственной думы РФ VII созыва. 5 ноября 2020 г. Роману Лябихову был передан мандат Александра Некрасова (КПРФ), перешедшего в Совет Федерации. Член фракции КПРФ, думского Комитета по жилищной политике и жилищно-коммунальному хозяйству. С 2021 — депутат Государственной думы РФ VIII созыва. Был избран 19 сентября 2021 г. по списку КПРФ (баллотировался под первым номером в региональной группе №20 — Владимирская, Ивановская, Костромская, Ярославская области).
В январе в СМИ появились материалы в которых Лябихова называли возможным кандидатом на выборах губернатора Ивановской области.