Лескин Алексей Владимирович родился 20 мая 1974 года в городе Новокуйбышевске Куйбышевской области.
В 1991 году после окончания средней школы поступил в Новокуйбышевское медицинское училище на отделение «Сестринское дело».
С 1993 года после окончания медучилища работал медбратом в хирургическом отделении медсанчасти Новокуйбышевского нефтехимкомбината.
В 1998 – 2000 гг. работал в Новокуйбышевском ПНД, исполнял обязанности старшего медбрата мужского отделения.
В 2000 – 2003 гг. обучался в Поволжском технологическом институте сервиса по специальности «Социальная работа».
В 2002 году закончил курсы Высшей Партийной школы.
В 2000 – 2007 гг. работал помощником депутата Государственной Думы ФС РФ Романова Валентина Степановича.
Женат. Воспитывает двоих сыновей.
В рядах Коммунистической Партии с 1999 года.
11 марта 2007 года избран депутатом Самарской Губернской Думы четвертого созыва по общеобластному избирательному округу от Самарского областного отделения политической партии КПРФ.
4 декабря 2011 года избран депутатом Самарской Губернской Думы пятого созыва по общеобластному избирательному округу от Самарского областного отделения политической партии КПРФ.
18 сентября 2016 года избран депутатом Самарской Губернской Думы шестого созыва по общеобластному избирательному округу от Самарского областного отделения политической партии КПРФ.
19 сентября 2021 года избран депутатом Самарской Губернской Думы седьмого созыва.
Депутат Самарской Губернской Думы на постоянной основе, заместитель председателя Самарской Губернской Думы.
В феврале 2023 года СМИ сообщили о том, что Лескин может стать одним из кандидатов на выборах губернатора Самарской области. В июне 2023 года подал документы в избирком для регистрации кандидатом на должность главы Самарской области.