Родился 23 февраля 1961 года в деревне Гриденки, Стародубского района, Брянской области.
В 1983 году окончил Брянский технологический институт по специальности «инженер-механик».
Кандидат сельскохозяйственных наук. В 2008 году в Брянской государственной сельскохозяйственной академии защитил диссертацию на тему «Сравнительная эффективность технологий возделывания различных сортов картофеля на серых лесных почвах юго-западной части Центрального региона России».
С 1977 года был учеником оператора, затем токарем цеха на Брянском заводе дорожных машин.
С 1983 года по 1998 год работал в совхозе «Берновичский» Стародубского района Брянской области инженером, заместителем директора.
В 1998-2003 годы — главный инженер производственного управления «Стародубрайгаз» ОАО «Брянскоблгаз».
В 2003 году был назначен первым заместителем главы администрации Стародубского района Брянской области.
В 2006 году занял должность главы Меленского сельского поселения, председателя сельского Совета народных депутатов (Стародубский район).
2 декабря 2007 году баллотировался в Государственную думу РФ V созыва от партии «Справедливая Россия: Родина/Пенсионеры/Жизнь» (ныне «Справедливая Россия»). Занимал шестую позицию в списке региональной группы №37 (Брянская область). По итогам распределения мандатов в Думу не прошел.
В 2009-2012 годы — депутат Брянской областной думы. 1 марта 2009 года был избран по Стародубскому одномандатному округу №28. Выдвигался от Брянского регионального отделения партии «Единая Россия». На выборах получил 63,16% голосов избирателей. Его ближайший соперник, кандидат от КПРФ Виктор Тараканов, набрал 25,19%.
С 2009 года по 2012 год вместе с супругой Ольгой руководил крестьянско-фермерским хозяйством «Богомаз О. А.» в Стародубском районе Брянской области. Также возглавлял компании «Надежда» и «Брянскагро», которые вместе с фермерским хозяйством осуществляли полный цикл работ по производству, упаковке и продаже картофеля. Был председателем совета директоров ООО «Картофельный альянс».
В 2011 году совместно с женой принял участие в предварительном голосовании (праймериз) партии «Единая Россия» и Общероссийского народного фронта по отбору кандидатов в Государственную думу РФ. Занял шестое место (Ольга Богомаз – 11-е) и был включен в предвыборный список кандидатов от «Единой России» под номером три в региональной группе №35 от Брянской области. Однако по итогам распределения мандатов после парламентских выборов 4 декабря 2011 года место в Думе не получил.
В 2012-2014 годы — депутат Государственной думы РФ VI созыва. 7 ноября 2012 года Александру Богомазу был передан освободившийся мандат Андрея Бочарова, который перешел на должность главного федерального инспектора Брянской области. Александр Богомаз входил в комитеты Госдумы по аграрным вопросам, по науке и наукоемким технологиям. Состоял во фракции «Единая Россия». Его депутатские полномочия были прекращены досрочно 16 сентября 2014 годы.
9 сентября 2014 года Александр Богомаз был назначен временно исполняющим обязанности губернатора Брянской области. Сменил во главе региона Николая Денина, который в тот же день был отрешен от должности указом президента РФ Владимира Путина в связи с утратой доверия.
13 сентября 2015 года он одержал победу на выборах губернатора Брянской области, набрав 79,96% голосов (баллотировался от партии «Единая Россия»). Его ближайший соперник, кандидат от «Патриотов России» Михаил Ивако, получил 9,61%. 28 сентября того же года Александр Богомаз вступил в должность.
В ноябре 2019 года Александр Богомаз был избран секретарем Брянского регионального отделения партии «Единая Россия».
В единый день голосования 13 сентября 2020 года вновь был избран губернатором Брянской области. За него проголосовали 71,69% избирателей (баллотировался от партии «Единая Россия»). Второе место занял первый секретарь Брянского областного отделения КПРФ Андрей Архицкий с результатом 10,09%. 22 сентября 2020 года состоялась церемония инаугурации избранного губернатора. Одновременно является председателем правительство Брянской области.