Родился 4 февраля 1969 года в городе Пскове, в семье рабочих.
Образование
В 1986 году закончил Родинскую среднюю школу (деревня Родина Псковского района).
В 1987-1989 годах проходил срочную воинскую службу.
Трудовая деятельность
Работал в ОАО «Псковский хлебокомбинат», где с 1991 года был заместителем начальника снабжения.
С 1999 года по 2001 год был руководителем Новосибирского филиала Санкт-Петербургской торговой фирмы.
С 2017 года работает в ООО «Псковмясопром» руководителем отдела продаж.
Участие в выборах
В сентябре 2017 года избран депутатом Псковской городской Думы шестого созыва. Руководил фракцией КПРФ. В феврале 2020 года был избран заместителем главы Пскова (на общественных началах).
9-11 сентября 2022 года избран депутатом Псковской городской Думы седьмого созыва по единому округу (КПРФ).
В марте 2023 года первый секретарь псковского обкома КПРФ Петр Алексеенко заявил, что Александр Баев рассматривается потенциальным кандидатов в главы региона. В июне того же года подал документы в избирком, позднее утратил статус выдвинутого кандидата (кандидатом от КПРФ стал Алексеенко).