Родился 15 июля 1979 года в Москве.
В 2001 году окончил Военный университет Министерства обороны РФ.
В 2006 году окончил Московский институт международного бизнеса при Всероссийской академии внешней торговли Министерства экономического развития РФ.
В 2014 году получил диплом Российской академии народного хозяйства и государственной службы при президенте РФ по программе «Мастер делового администрирования».
Прошел обучение на первом потоке программы подготовки кадрового управленческого резерва государственной службы, которая была запущена в июне 2017 года на базе Высшей школы государственного управления.
В 1996-2005 года проходил службу в Вооруженных силах РФ.
С 2006 года занимал различные должности в департаменте внешнеэкономических отношений Министерства экономического развития и торговли РФ, главой которого являлся Герман Греф (ныне возглавляет Сбербанк России), а с сентября 2007 года — Эльвира Набиуллина (в настоящее время — председатель Центробанка РФ).
В феврале — августе 2008 года работал в Департаменте международного сотрудничества Аппарата правительства РФ.
В 2008-2010 годы был помощником министра регионального развития РФ Виктора Басаргина.
С 2010 года — заместитель директора, а в 2011-2013 годы — директор департамента международных связей и развития приграничного сотрудничества Министерства регионального развития РФ.
В январе — марте 2013 года — директор департамента координации государственных отраслевых программ Министерства регионального развития РФ.
В марте 2013 года перешел в Министерство экономического развития РФ, где занял должность помощника главы ведомства Андрея Белоусова. С июня того же года был помощником нового министра Алексея Улюкаева.
С сентября по декабрь 2013 года — директор департамента обеспечения деятельности главы Министерства экономического развития РФ.
В 2013-2014 года — директор департамента взаимодействия с органами Таможенного союза и экономического сотрудничества со странами СНГ Минэкономразвития.
19 ноября 2014 года был назначен заместителем министра экономического развития РФ Алексея Улюкаева. Сохранил свой пост после ареста министра и его отставки в связи с утратой доверия президента РФ.
С 30 ноября 2016 года занимал должность заместителя главы Минэкономразвития РФ Максима Орешкина. Курировал вопросы стратегического и территориального планирования регионального развития, приграничного и международного межрегионального сотрудничества, социально-экономического развития арктических территорий, вопросы развития особых экономических зон, территорий опережающего социально-экономического развития, моногородов, закрытых административных территорий и др.
Входил в советы директоров АО «Особая экономическая зона «Иннополис», АО «Особая экономическая зона промышленно-производственного типа «Алабуга» и др.
В 2015 году возглавил попечительский совет Благотворительного фонда культурных и социально значимых инициатив им. Святого праведного воина Федора Ушакова.
28 сентября 2017 году указом президента РФ Владимира Путина был назначен временно исполняющим обязанности губернатора Ненецкого автономного округа (НАО). В тот же день освобожден от должности замминистра экономического развития РФ.
В сентябре 2018 года президент РФ внес на рассмотрение Собрания депутатов НАО три кандидатуры на пост главы округа: в список вошли Александр Цыбульский (был выдвинут от «Единой России») и члены регионального парламента Андрей Ружников (партия «Родина») и Андрей Смыченков (ЛДПР).
1 октября 2018 года региональный парламент избрал Александра Цыбульского губернатором Ненецкого автономного округа. За него проголосовали 12 из 15 присутствующих на заседании депутатов. В тот же день состоялась инаугурации губернатора.
2 апреля 2020 года указом президента РФ Александр Цыбульский был назначен врио губернатора Архангельской области. Сменил на посту Игоря Орлова, который подал в отставку по собственному желанию.
В единый день голосования 13 сентября 2020 года избран губернатором Архангельской области. За него проголосовали 69,63% избирателей (баллотировался от партии «Единая Россия»). Второе место заняла кандидат от «Справедливой России», депутат Архангельского облсовета Ирина Чиркова, с результатом 16,92%. 8 октября 2020 года Александр Цыбульский официально вступил в должность.