Родился в городе Химки Московской области.
C 1983 по 1988 учился в МГУ им. Ломоносова на юридическом факультете, был членом ВЛКСМ.
После первого курса работал вожатым в пионерлагере МГУ «Юность».
В 1985-м году проходил парусную практику в пионерской флотилии «Каравелла».
Основал движение разновозрастных отрядов «Рассвет», в котором велась внешкольная работа с детьми.
В 1997 году возглавил компанию по производству и торговле косметикой «Русская линия» (впоследствии Faberlic). С момента основания Нечаев был и остается единоличным лидером компании.
С 2004 по 2007 год — член Совета по конкурентоспособности и предпринимательству при Правительстве РФ.
В 2010 году создал «Зелёное движение России «ЭКА»», став основным спонсором проекта.
В 2012 году основал образовательную программу «Капитаны», которая открылась в 13-ти регионах страны. Затем создал одноименный семейный Благотворительный фонд, при поддержке которого на базе Института управления и социально-экономического планирования Российского экономического университета им. Г. В. Плеханова был создан факультет бизнеса «Капитаны».
В 2016 году образовательная программа «Капитаны» стала лауреатом премии «Основа Роста-2016», как «Лучший образовательный проект в области предпринимательства».
Зимой 2020 года Нечаев объявил о создании политической партии «Новые люди», 8 августа 2020 года был избран её председателем.
Является членом Центрального совета Общероссийского народного фронта.
19 сентября 2021 года избран депутатом Государственной Думы Федерального собрания Российской Федерации VIII созыва.
11 октября 2021 года избран руководителем фракции «Новые люди» в Государственной Думе Федерального собрания Российской Федерации VIII созыва.
В 2022 году в сети опубликовали расследование о том, что якобы большую часть пожертвований в избирательный фонд партии «Новые люди», возглавляемой Алексеем Нечаевым, сделали люди, родившиеся после 1998 года, а сумма практически каждого взноса составила около 4 млн рублей — это максимум, который по закону физлицо может пожертвовать партии.
Авторы расследования утверждают, что деньги молодым людям выдавала сама партия, чтобы избежать возможных проблем со спонсорами-юрлицами. Нечаев расследование не комментировал.
Возможно выдвижение в кандидаты на выборах Президента Российской Федерации в 2024 году.