Александр Александрович Козлов родился 2 января 1981 года в Южно-Сахалинске Сахалинской области. Среднюю школу окончил в Райчихинске Амурской области.
В 2003 году окончил Благовещенский филиал Московской академии предпринимательства при правительстве Москвы по специальности «юриспруденция», получив квалификацию «юрист». Учился в Дальневосточном федеральном университете по специальности «горный инженер».
В 2000-2007 годах работал в ООО «Амурский уголь» (Райчихинск, Амурская область), дочерней компании холдинга «Русский уголь». Занимал должности ведущего юрисконсульта, и. о. помощника генерального директора по юридическим вопросам, руководителя юридического отдела и департамента, заместителя генерального директора по правовым вопросам и корпоративной безопасности.
В 2007 году был назначен директором филиала компании «Русский уголь» в Гукове (Ростовская область).
В 2008 году Александр Козлов возглавил филиал компании «Русский уголь» в Благовещенске (Амурская область).
В 2009-2010 гг. занимал должность генерального директора ООО «Амурский уголь» в Райчихинске.
В 2011 году перешел на государственную службу в правительство Амурской области по приглашению губернатора региона Олега Кожемяко. 2 февраля 2011 года Александр Козлов был назначен первым заместителем министра строительства, архитектуры и жилищно-коммунального хозяйства Амурской области. В августе того же года стал исполняющим обязанности министра. 23 декабря 2011 года, после разделения ведомства на две самостоятельные структуры, возглавил областное министерство жилищно-коммунального хозяйства.
14 февраля 2014 года занял должность первого заместителя главы администрации Благовещенска. С 20 февраля того же года, после отставки главы города Павла Березовского, исполнял обязанности руководителя городской администрации.
В апреле 2014 года стал победителем предварительного внутрипартийного голосования (праймериз) партии «Единая Россия» по отбору кандидатов на пост главы Благовещенска.
В 2014-2015 годах — мэр Благовещенска. 14 сентября 2014 года 33-летний Александр Козлов одержал победу на выборах главы города, за него проголосовали 38,68% избирателей (был выдвинут партией «Единая Россия»). Его ближайший соперник, кандидат от КПРФ Татьяна Ракутина, набрала 16,97%. 19 сентября того же года Александр Козлов официально вступил в должность главы города.
В 2015-2018 годах — губернатор Амурской области. 25 марта 2015 года указом президента РФ Владимира Путина Козлов был назначен временно исполняющим обязанности губернатора Амурской области. Прежний руководитель региона Олег Кожемяко в тот же день возглавил Сахалинскую область вместо Александра Хорошавина, отправленного в отставку в связи с утратой доверия главы государства.
13 сентября 2015 года на досрочных выборах Александр Козлов был избран губернатором Амурской области, за него проголосовали 50,64% избирателей (баллотировался от «Единой России»). Его основной конкурент, кандидат от ЛДПР Иван Абрамов, получил 28,30%. 20 сентября того же года состоялась церемония инаугурации избранного главы региона. На тот момент Александр Козлов стал одним из самых молодых руководителей российских регионов.
18 сентября 2016 года Александр Козлов участвовал в выборах депутатов Законодательного собрания Амурской области VII созыва. Возглавлял список регионального отделения политической партии «Единая Россия». После выборов отказался от места в Заксобрании.
С 18 мая 2018 года — министр РФ по развитию Дальнего Востока (с 2019 года — Дальнего Востока и Арктики) в правительствах Дмитрия Медведева (2018-2020) и Михаила Мишустина (2020). Сменил на этом посту Александра Галушку. 26 февраля 2019 года ведомство было переименовано в Министерство по развитию Дальнего Востока и Арктики, ему переданы дополнительные полномочия по развитию Арктической зоны РФ. 21 января 2020 года Александр Козлов сохранил свой пост в новом правительстве Михаила Мишустина.
СМИ называют возможным кандидатом в губернаторы Красноярского края.