В 1998 году окончил факультет «Государственное и муниципальное управление» Волго-Вятской академии государственной службы (сейчас – филиал РАНХиГС).
С 1998 по 2001-й учился в аспирантуре Волго-Вятской академии государственной службы по специальности «социальная философия».
В 1999 году руководил предвыборной кампанией Р. Абрамовича на выборах в Госдуму, помогал ему на губернаторских выборах Чукотского АО.
C 2001 по 2003 год являлся членом правительства Чукотского АО.
С 2001 года по 2003 год работал заместителем губернатора Чукотского автономного округа, начальником Департамента культуры, молодежи, спорта, туризма и информационной политики ЧАО, являлся членом правительства Чукотского автономного округа.
В марте 2002 года возглавил созданное в округе Чукотское региональное отделение Всероссийской политической партии «Единая Россия». Вошел в состав генерального совета Всероссийской политической партии «Единая Россия».
В 2003 году избран депутатом Государственной Думы Федерального собрания четвертого созыва (член Комитета по гражданскому, уголовному, арбитражному и процессуальному законодательству).
В июле 2004 года при участии Капкова был создан некоммерческий фонд «Национальная академия футбола» (НАФ), в котором он занял должность председателя правления.
В апреле 2006 года Капков стал вице-президентом по развитию Российского Футбольного Союза (РФС).
В декабре 2007 года Капкова избрали депутатом Государственной Думы Федерального Собрания РФ пятого созыва (первый заместитель председателя Комитета по информационной политике, информационным технологиям и связи).
В марте 2011 года сложил с себя депутатские полномочия в связи с назначением на должность директора ГУК города Москвы «Центральный парк культуры и отдыха имени Горького».
В августе 2011 назначен заместителем руководителя Департамента культуры города Москвы. В сентябре 2011 — руководителем департамента.
В сентябре 2013 года стал министром правительства Москвы.
В 2015 году мэр Москвы Сергей Собянин сообщил о том, что Капков покинул пост руководителя Департамента культуры Москвы.
С 2015 года Капков занимает должность директора Центра исследований экономики культуры, городского развития и креативных индустрий экономического факультета МГУ им. Ломоносова.