Родился 6 августа 1960 года в селе Степной Дворец
Окончил факультет машиностроения Восточно-Сибирского технологического института (1982 год, Улан-Удэ). В студенческие годы увлекался спортом: стал мастером спорта по подводному плаванию и пятиборью, выступал за сборные команды РСФСР на соревнованиях международного уровня. После окончания вуза распределился на машиностроительный завод в Одессу.
В 1983 году приехал в Тольятти и начал работать на Волжском автозаводе, прошёл путь от мастера до заместителя начальника управления в Научно-техническом центре (управление занималось проектированием и испытанием спортивных автомобилей, подготовкой команды гонщиков к состязаниям). Избирался секретарем заводской комсомольской организации.
В 1985 году вступил в КПСС. Окончил Высшую комсомольскую школу при ЦК ВЛКСМ и аспирантуру при ВКШ. Вскоре после этого стал заместителем секретаря парткома ВАЗа. Избирался депутатом городского совета города Тольятти.
В 1990-е годы руководил на ВАЗе одной из первых производственно-коммерческих фирм — «Инком-Авто ЛАДА».
С 1996 живёт и работает в Москве. Десять лет трудился в области электроэнергетики: занимал одну из руководящих должностей в некоммерческом партнерстве энергопроизводителей и сбытовых компаний корпорации «Единый электроэнергетический комплекс». Выступал против реформы энергетики А. Чубайса.
30 ноября 2008 года на XIII съезде КПРФ избран членом Президиума и секретарём ЦК КПРФ, курирующим международные и экономические связи партии.
24 марта 2010 года вышло постановление ЦИК о передаче Леониду Калашникову мандата депутата Госдумы, освободившегося в связи с кончиной Ю. А. Квицинского. 2 апреля Калашников зарегистрирован как действующий депутат. Первый заместитель председателя комитета Госдумы по международным делам.
С 2010 по 2019, в течение исполнения полномочий депутата Государственной Думы V, VI и VII созывов, выступил соавтором 41 законодательной инициативы и поправки к проектам федеральных законов.
В 2011 году на Выборах в Государственную думу избран депутатом в составе партийного списка КПРФ.
Включён в санкционные списки ЕС и Канады в связи с событиями на Украине.
В 2016 на выборах в Государственную думу России баллотировался по Тольяттинскому одномандатному избирательному округу № 159 но избран не был, проиграв кандидату Единой России В.В. Бокку. Избран депутатом Государственной думы VII созыва в составе федерального партийного списка КПРФ от Оренбургской-Самарской группы. Является председателем комитета Государственной думы по делам Содружества Независимых Государств, евразийской интеграции и связям с соотечественниками.
В 2021 году на выборах в Государственную думу избран депутатом по Тольяттинскому одномандатному избирательному округу № 159.
Награжден Медалью ордена «За заслуги перед Отечеством» II степени (26 августа 2016 года) — за активную законотворческую деятельность и многолетнюю добросовестную работу.