Родился 22 ноября 1955 года в семье военного.
В 1979 году окончил Московский авиационный институт им. Серго Орджоникидзе по специальности «инженер-электромеханик».
С 1979 по 1989 годы работал на закрытых военно-промышленных предприятиях Москвы и Подмосковья на различных должностях. В эти годы дважды окончил Центральный институт повышения квалификации кадров авиационной промышленности Министерства авиационной промышленности СССР (ЦИПКК МАП СССР) в 1986 и 1989 годах.
В 1988 году основал предприятие по переработке древесины и изготовлению стройматериалов.
В 1990 году окончил Академию народного хозяйства при Совете министров СССР (ныне — Российская академия народного хозяйства и государственной службы при президенте РФ) по специальности «менеджмент» («специалист по управлению бизнесом»), прошёл «стажировку в Германии».
С марта 1991 по март 1995 года — генеральный директор АОЗТ «Аверс». В июле 1991 года — генеральный директор ЗАО «Квонтум Лтд».
В 1991 году перенёс бизнес за границу, создал несколько агрофирм в Африке, Азии и США.
С сентября 1994 по февраль 1997 года Чепа занимал должность коммерческого директора АОЗТ «Военно-техническая компания по реализации конверсионной техники и оборудования» (Воентех).
В феврале 1997 года Алексей Чепа занял должность генерального директора АОЗТ «Военно-техническая компания по реализации конверсионной техники и оборудования» (Воентех). В мае 1999 года вошёл в наблюдательный совет ЗАО АКБ «Русско-Германский Торговый Банк А. О.» (в 2010 году у банка была отозвана лицензия). Через месяц стал членом Совета директоров РАКБ «Москва». В 1999—2000 годы являлся членом совета директоров Регионального акционерного банка «Москва».
В 2001 году основал межрегиональный аграрный фонд «Плодородие». Тогда же в 2001 году вступил в Аграрную партию России. Фактически бизнесмен Чепа являлся главным спонсором партии. В 2002 году стал заместителем председателя партии.
В 2002 году — председатель правления некоммерческой организации «Фонд дружбы и сотрудничества с Республикой Ангола».
С 2002 года — основной акционер и председатель совета директоров телеканалов «Ностальгия» и «Русский мир» (вещание на территории США) и ряда печатных изданий: журналов «Автоплюс» и «Ностальгия», газеты «Русский курьер».
В 2003 году возглавил совет директоров ОАО «Марьинская птицефабрика».
В июле 2003 года в Москве создал и возглавил КБ «Банк развития технологий» (АО). Был членом совета директоров и владельцем контрольного пакета. В совет директоров банка входила также его жена Ирина Чепа.
Также летом 2003 года создал вместе с партнёрами ООО «Мой дом девелопмент», которое до 2006 года строило жилые дома
В сентябре 2003 года в период кампании по в Государственную думу IV созыва Чепа был включён третьим номером в первую тройку федерального списка избирательного объединения «Аграрная партия Россия». Первым в списке был Михаил Лапшин, вторым — Александр Назарчук. На выборах 7 декабря 2003 года партия получила 3,64 % голосов и не преодолела пятипроцентный барьер.
В 2004 году стал руководителем автономной некоммерческой организации «Институт продовольственной политики».
В 2005 году Чепа был исключён из Аграрной партии России после конфликта с её главой Владимиром Плотниковым.
В 2005 году возглавил торговое предприятие ООО «Рокада Лтд.», от лица которого принимал участие в работе Российско-арабского делового совета при Торгово-промышленной палате РФ (занимается содействием развитию торгово-экономического сотрудничества между Россией и арабскими странами). В том же году стал финансовым директором компании «Вессо-линк единая пейджинговая».
В 2006 году являлся председателем Советов директоров Братцевской птицефабрик в Подмосковье.
В 2007 году вступил в партию «Справедливая Россия».
В 2010 году стал главой регионального отделения «Справедливой России» в Тверской области.
Осенью 2011 года выдвинут на выборы в Государственную думу 6 созыва в составе списка партии «Справедливая Россия», баллотировался в региональной группе № 35 (Вологодская область, Новгородская область, Тверская область), где был первым номером.
В Госдуме занял посты заместителя руководителя фракции партии «Справедливая Россия» и заместителя председателя комитета по науке и наукоёмким технологиям.
В мае 2016 года ЦБ лишил лицензии на осуществление банковских операций принадлежащий Чепе КБ «Банк развития технологий», в в совет директоров которого входила его жена Ирина.
В июне 2016 года выдвинут на выборы в Государственную думу 7 созыва в составе списка партии «Справедливая Россия» (№ 1 в региональной группе № 26: Вологодская область, Новгородская область, Тверская область)
С 17 декабря 2018 года — председатель комитета по экономическому сотрудничеству со странами Азии и Океании при Торгово-промышленной палате Российской Федерации.
Имеет 70% акций фитнес-клуба Golden Mile.
В 2019 году Алексей Чепа, вместе с другими бывшими топ-менеджерами банка, стал ответчиком по по иску Агентства по страхованию вкладов на сумму почти 1,609 млрд рублей.