Родился 9 июля 1976 года в городе Новокузнецк Кемеровской области.
В 1998-м окончил Алтайский государственный университет по специальности «юрист». Год спустя получил статус адвоката и начал работать в адвокатской конторе в Барнауле (Алтайский край).
В 2004 году Бессарабов был избран в Алтайский краевой совет народных депутатов от ЛДПР. Стал зампредседателя, затем председателем комитета по законности, правопорядку и защите прав граждан.
В 2006 году в Алтайском государственном университете он защитил диссертацию на тему «Правовое положение субъектов рынка ценных бумаг», стал кандидатом юридических наук. Через год окончил Российскую академию государственной службы при президенте РФ, получив специальность экономиста.
В 2008 году был избран депутатом Алтайского краевого законодательного собрания от партии «Единая Россия». Возглавил комитет по законности, правопорядку и защите прав граждан.
В сентябре 2010-го Бессарабова назначили замгубернатора Алтайского края Александра Карлина, он координировал работу органов исполнительной власти края в сфере социальной политики. В мае 2011 года он возглавил территориальный фонд обязательного медицинского страхования края.
В 2012 году он победил на выборах депутатов Барнаульской городской Думы от ЕР, но сложил полномочия.
С 2016 года Бессарабов – депутат Государственной Думы от партии «Единая Россия».
В 2018 году он был назначен полномочным представителем Государственной Думы в Верховном Суде РФ.
До ноября 2020-го он был зампредседателя комитета Госдумы по государственному строительству и законодательству, затем стал первым зампредседателя комитета Госдумы по государственному строительству и законодательству.
Является членом политического совета Алтайского регионального отделения партии «Единая Россия». Президент федерации дзюдо Алтайского края.
Женат, трое детей.