Родился 16 июня 1978 года в городе Пятигорске Ставропольского края.
В 1995 году окончил школу с углублённым изучением предметов на английском языке. В 2002-м с отличием окончил Московскую медицинскую академию имени И. М. Сеченова.
В течение года, начиная с 2000-го, проходил стажировку в отделении трансплантации органов в клинике Гроссхадерн в Мюнхене.
В 2002-2005 годах работал хирургом по оказанию экстренной медицинской помощи в московской Городской клинической больнице № 53.
В 2005-м Башанкаев получил стипендию Президента РФ для молодых учёных и уехал учиться в США.
В 2009 году он начал заниматься исследовательской и врачебной работой в Российском научном центре хирургии имени академика Б. В. Петровского РАМН. Был научным сотрудником отделения колопроктологии и хирургии тазового дна Российского научного центра хирургии им. академика Б. В. Петровского.
В 2012 году окончил Российскую академию государственной службы при Президенте РФ, после руководил отделением колопроктологии Европейского медицинского центра в Москве вплоть до 2015 года.
В 2018 году он баллотировался от «Единой России» на выборах в Народный Хурал (Парламент) Республики Калмыкия, но проиграл.
В 2021 году Башанкаев победил на выборах депутатов Госдумы от партии «Единая Россия».
С ноября 2021 года — член комиссии генсовета партии по здравоохранению.
Сегодня работает на кафедре хирургии в Медицинской академии имени И. М. Сеченова, также занимается научно-педагогической и просветительской деятельностью.
Башанкаев — член Общественного совета при постоянном представителе Республики Калмыкия при Президенте РФ, также член Общественного Совета при Департаменте образования и науки Москвы.
Является членом редакционной коллегии нескольких научных американских и российских журналов.
Действительный член Российского общества хирургов, Российского общества эндоскопических хирургов, Ассоциации колопроктологов России, American College of Surgeons (ACS) и других.
Женат, четверо детей.