Родился 31 января 1966 года в селе Петровка Красногвардейского района Крымской области УССР. В юности Бабашов был кандидатом в мастера спорта по зимнему многоборью.
После прохождения срочной службы в советской армии в 1986 году устроился слесарем по ремонту автомобилей на станции техобслуживания ДОСААФ в поселке Красногвардейском. В 1989-1992 годах работал маляром-рихтовщиком в автогараже Ордена Ленина при колхозе «Дружба народов». С 1993 года начал заниматься предпринимательской деятельностью.
В 1995-м окончил Киевский государственный технический университет строительства и архитектуры, получив квалификацию «инженер-строитель».
В свое время владел ООО «Блик», занимающимся торговлей медикаментами, также был владельцем 30% акций крупного крымского дорожного подрядчика ООО «Альт-Эра».
Был первым вице-президентом Федерации парусного спорта Крыма. Входил в попечительский совет мемориального комплекса «Красный», участвовал в финансировании установки памятника Вежливым людям в Симферополе.
В 2014 году вступил в партию «Единая Россия», тогда же стал депутатом Государственного Совета Республики Крым от ЕР. В 2019-м был переизбран в Совет.
В 2016 году окончил юридический факультет Крымского федерального университета имени В. И. Вернадского.
С осени 2021 года – депутат Государственной Думы от «Единой России».
Награжден благодарностями Главы Республики Крым и Председателя Государственного Совета Республики Крым, медалью «За доблестный труд», имеет почётное звание «Заслуженный строитель Республики Крым».
Состоит в браке, трое детей.