Родился 8 февраля 1963 года в Кишиневе (Молдавия).
В 1985 году окончил кафедру экономики зарубежных стран экономического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова. В 1989 году защитил диссертацию на тему «Государственное регулирование сферы аграрных отношений в развивающихся странах». Является кандидатом экономических наук.
С 1988 по 2003 годы — старший научный сотрудник факультета государственного управления МГУ, занимался научной и преподавательской деятельностью на кафедре экономической теории.
С 1988 года работал в ЗАО «Вознесенский завод по производству и выделке кож» в Николаевской области Украины. С начала 1990-х и до декабря 2003 года входил в совет директоров украинской компании Промсвязь.
С 1995 года — генеральный директор российского ООО «Запад-ИК». С 1998 года — председатель наблюдательного совета коммерческого банка «Темпбанк» (Москва).
С 2001 по 2003 годы возглавлял совет директоров футбольного клуба ЦСКА.
В 2003 году Бабаков вступил в Партию российских регионов (переименована в «Родину» в 2004 году), был избран членом политического совета.
В 2003 году был избран депутатом Госдумы IV созыва по списку «Родины», занимал пост зампредседателя фракции, а затем — председателем фракции. В 2004 году Бабаков возглавил президиум партии «Родина».
В 2006 году после образования партии «Справедливая Россия: Родина/Пенсионеры/Жизнь» был избран секретарем президиума центрального совета, а в 2008 году — первым секретарем президиума центрального совета.
С 2007 по 2011 годы — депутат Госдумы V созыва, являлся одним из зампредседателя Госдумы Бориса Грызлова (по квоте «Справедливой России»).
В 2011 году Бабаков объявил об уходе из «Справедливой России» в Общероссийский народный фронт (ОНФ). Он был официально исключен из партии, однако сохранил за собой пост зампредседателя Госдумы.
В 2011 году был избран депутатом Госдумы VI созыва, вошел в список «Единой России» по квоте ОНФ.
В 2012 году был назначен специальным представителем президента РФ по взаимодействию с организациями соотечественников за рубежом.
С 2016 по 2021 годы — член Совета Федерации РФ, представлял Тамбовскую область. Полномочия сенатора были прекращены в 2021 году в связи с переходом в Госдуму.
В 2020 году Бабаков был избран первым заместителем председателя партии Захара Прилепина «За правду».
После объединения партий «Справедливая Россия», «За правду» и «Патриоты России» занял пост секретарь президиума центрального совета по связям с соотечественниками. Является членом центрального совета партии и его президиума.
С 2021 года — депутат Госдумы VIII созыва, занимает пост заместителя председателя парламента Вячеслава Володина.
Награжден орденами Дружбы (2008), Почета (2017), «За заслуги перед Отечеством» IV степени (2020), а также Орденом сербского знамени II степени (2019; Республика Сербия). Имеет благодарность правительства РФ (2020).
Бабков — мастер спорта СССР по настольному теннису. С 2014 года возглавляет Федерацию настольного тенниса России.
Женат, имеет сына и дочь.