Родился 23 апреля 1967 года в город Кушве Свердловской области.
Отец работал крановщиком вальцелитейного цеха Кушвинского завода прокатных валов, мать — кассиром на железнодорожной станции «Гороблагодатская».
В 1989 г. окончил теплоэнергетический факультет Уральского политехнического института имени С. М. Кирова (ныне — Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н. Ельцина) по специальности «инженер-теплоэнергетик».
Кандидат экономических наук. В 1998 г. в Институте экономики Уральского отделения Российской академии наук защитил диссертацию на тему «Институциональные факторы эффективного реформирования отношений собственности».
В 1989-1990 гг. работал инженером-энергетиком в свердловском туристско-экскурсионном агентстве «Малахит» предпринимателя Антона Бакова (позднее — депутат регионального парламента и Госдумы РФ, лидер Монархической партии России). После того, как на основе турфирм «Малахит» и «Кедр» Антон Баков учредил предприятие-авиаперевозчик «Ист Лайн» (впоследствии — оператор столичного аэропорта «Домодедово»), Александр Бурков перешел в новую компанию.
В 1990-1992 гг. был начальником отдела, заместителем генерального директора «Ист Лайн».
С 1992 по 1995 г. работал в региональном представительстве рабочего центра экономических реформ при правительстве РФ. Был специалистом 2-й категории, заведующим отдела региональной экономики, начальником управления по региональной политике.
В 1994-1996 гг. — депутат Свердловской областной думы. 10 апреля 1994 г. был избран по Серовскому округу №7 от Свердловского областного отделения Партии российского единства и согласия (лидер — министр РФ по делам национальностей и региональной политике Сергей Шахрай).
В 1995 г., после выборов губернатора Свердловской области, победу на которых одержал Эдуард Россель, был назначен заместителем председателя правительства области – председателем комитета по управлению государственным имуществом. Занимал пост до 1998 г.
В 1998-2000 гг. — депутат Палаты представителей (верхняя палата) Законодательного собрания Свердловской области, был избран по Кушвинскому округу.
В 1998 г. возглавил областную общественную организацию «Промышленный парламент Свердловской области», в 1999 г. — совет движения «За социальные гарантии трудящихся «Май». Создал избирательный блок «Союз бюджетников Урала».
В 1999 г. участвовал в выборах губернатора Свердловской области (баллотировался от группы избирателей). 28 августа 1999 г. получил 18,37% голосов и вышел во второй тур вместе с действующим главой региона Эдуардом Росселем (38,78%). По итогам голосования 12 сентября 1999 г. набрал 28,26%, уступив победу Эдуарду Росселю (63,09%).
В октябре 1999 г. возглавил избирательный блок «Мир. Труд. Май», принявший 19 декабря того же года участие в выборах в Государственную думу РФ III созыва. По итогам выборов блок получил 0,57% голосов и в Думу не прошел.
В 2000-2007 гг. — депутат Областной думы Законодательного собрания Свердловской области. Избирался в нижнюю палату регионального парламента в 2000 и 2002 гг. от движения «Май», в 2004 г. — от Союза бюджетников Урала.
В 2007 г. стал членом партии «Справедливая Россия: Родина/Пенсионеры/Жизнь» (с 2009 г. — «Справедливая Россия», лидер — Сергей Миронов). В 2007-2008 гг. был секретарем бюро совета регионального отделения партии в Свердловской области.
В 2007-2011 гг. — депутат Государственной думы РФ V созыва. 2 декабря 2007 г. избран по федеральному списку партии «Справедливая Россия: Родина/Пенсионеры/Жизнь» (возглавлял региональную группу №70, Свердловская область). Был членом думского комитета по транспорту, затем — первым заместителем председателя комитета по вопросам федеративного устройства и местного самоуправления, членом фракции «Справедливая Россия».
В июле 2008 г. избран председателем совета регионального отделения партии «Справедливая Россия» в Свердловской области (переизбран в июне 2010 г.). В апреле 2011 г. вошел в президиум центрального совета партии «Справедливая Россия».
В 2011-2016 гг. — депутат Государственной думы РФ VI созыва. 4 декабря 2011 г. был избран по федеральному списку «Справедливой России» (возглавлял региональную группу №59, Свердловская область). Занимал пост первого заместителя председателя комитета Госдумы по федеративному устройству и вопросам местного самоуправления. Был членом фракции «Справедливая Россия». Депутатские полномочия были прекращены досрочно 13 октября 2017 г. в связи с переходом на госслужбу.
В 2013-2018 гг. — секретарь президиума центрального совета партии «Справедливая Россия» по вопросам организации подготовки и проведения избирательных кампаний.
С июля 2013 г. — учредитель и председатель общественного объединения «Российский союз домовых советов».
8 сентября 2013 г. баллотировался от «Справедливой России» на пост главы Екатеринбурга. По итогам голосования главой города стал Евгений Ройзман (33,31%). Александр Бурков занял третье место, набрав 20,25%.
В 2016-2017 гг. — депутат Государственной думы РФ VII созыва. Был избран 18 сентября 2016 г. в составе федерального списка кандидатов партии «Справедливая Россия» (возглавлял региональную группу №44, Свердловская область). В Думе стал первым заместителем руководителя фракции «Справедливая Россия» Сергея Миронова. Работал в комитете по жилищной политике и ЖКХ. Депутатские полномочия Александра Буркова были прекращены досрочно 13 октября 2017 г. в связи с переходом на госслужбу.
9 октября 2017 г. указом президента РФ Владимира Путина назначен временно исполняющим обязанности губернатора Омской области. Сменил во главе региона Виктора Назарова.
9 сентября 2018 г. избран губернатором Омской области в ходе досрочных выборов. Участвовал в них в качестве самовыдвиженца. По итогам голосования набрал 82,56% голосов. Второе место занял депутат омского горсовета Алексей Ложкин от ЛДПР — 8,50%. Инаугурация Александра Буркова состоялась 14 сентября. Согласно уставу Омской области, является председателем правительства региона.
Награжден медалью ордена «За заслуги перед Отечеством» II степени (2013).
Женат, воспитывает сына. Увлекается охотой.
Заявил о намерении пойти на второй срок.